京都大学 2005年度後期・文理共通数学後期文系第2問・理系第2問解答・解説

問題

$\frac{2 z + 2 i}{z + 2 i} = \overline{z}$ を満たす複素数 $z$ をすべて求めよ。

出典：京都大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・文理共通後期文系第2問・理系第2問

$z = x + i y$ と置いて分母を払う。実部・虚部を比較すると $x = y + 1$ が得られ、実部の式は $y$ の2次方程式になる。

$z = x + i y$ とおく。分母を払うと

2 z + 2 i = ∣ z ∣^{2} + 2 i \overline{z} .

両辺を実部と虚部に分けると

2 x = x^{2} + y^{2} + 2 y, 2 y + 2 = 2 x .

第2式から $x = y + 1$ である。これを第1式へ代入すると

2 (y + 1) = (y + 1)^{2} + y^{2} + 2 y,

すなわち

2 y^{2} + 2 y - 1 = 0.

よって

y = \frac{- 1 \pm 3}{2}, x = y + 1 = \frac{1 \pm 3}{2}

であり、複号は同順である。したがって

z = \frac{1 + 3}{2} + \frac{- 1 + 3}{2} i, z = \frac{1 - 3}{2} + \frac{- 1 - 3}{2} i

である。どちらも $z + 2 i \neq = 0$ を満たす。