京都大学 2005年度文理共通数学文系第2問・理系第2問解答・解説

問題

$2^{10} < (\frac{5}{4})^{n} < 2^{20}$ を満たす自然数 $n$ は何個あるか．ただし， $0.301 < lo g_{10} 2 < 0.3011$ である．

出典：京都大学 2005年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第2問・理系第2問

方針

底が10の対数をとると，条件は $10 lo g_{10} 2 < n lo g_{10} (5/4) < 20 lo g_{10} 2$ になる。ここで $lo g_{10} (5/4) = 1 - 3 lo g_{10} 2$ と直し，与えられた $0.301 < lo g_{10} 2 < 0.3011$ から $0.0967 < lo g_{10} (5/4) < 0.097$ を得る。あとは分母・分子の上下評価を使って，下限が31と32の間，上限が62と63の間にあることを示し，自然数 $n$ の範囲を確定する。

解答

常用対数をとる。 $5/4 > 1$ なので，不等号の向きは変わらず $10 lo g_{10} 2 < n lo g_{10} \frac{5}{4} < 20 lo g_{10} 2$ である。したがって

\frac{10 lo g _{10} 2}{lo g _{10} ( 5/4 )} < n < \frac{20 lo g _{10} 2}{lo g _{10} ( 5/4 )}

を満たす自然数 $n$ を数えればよい。

ここで $lo g_{10} \frac{5}{4} = lo g_{10} 5 - lo g_{10} 4$ であり， $lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2$ ， $lo g_{10} 4 = 2 lo g_{10} 2$ だから $lo g_{10} \frac{5}{4} = 1 - 3 lo g_{10} 2$ である。与えられた $0.301 < lo g_{10} 2 < 0.3011$ より $0.0967 < lo g_{10} \frac{5}{4} < 0.097$ を得る。

下限を評価する。分子は $3.01 < 10 lo g_{10} 2 < 3.011$ であり，分母は $0.0967 < lo g_{10} \frac{5}{4} < 0.097$ である。したがって

\frac{3.01}{0.097} < \frac{10 lo g _{10} 2}{lo g _{10} ( 5/4 )} < \frac{3.011}{0.0967}

である。ここで $31 < \frac{3.01}{0.097}, \frac{3.011}{0.0967} < 32$ が成り立つので $31 < \frac{10 l o g _{10} 2}{l o g _{10} ( 5/4 )} < 32$ である。よって $n$ は $n ≧ 32$ でなければならない。

同様に上限を評価する。分子は $6.02 < 20 lo g_{10} 2 < 6.022$ であるから

\frac{6.02}{0.097} < \frac{20 lo g _{10} 2}{lo g _{10} ( 5/4 )} < \frac{6.022}{0.0967}

である。さらに $62 < \frac{6.02}{0.097}, \frac{6.022}{0.0967} < 63$ なので $62 < \frac{20 l o g _{10} 2}{l o g _{10} ( 5/4 )} < 63$ である。よって $n$ は $n ≦ 62$ でなければならない。また上限は62より大きいので， $n = 62$ は上側の不等式を満たす。

したがって条件を満たす自然数は $32, 33, \dots, 62$ であり，その個数は $62 - 32 + 1 = 31$ である。

京都大学 2005年度文理共通数学 文系第2問・理系第2問

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