京都大学 2002年度
後期・文理共通数学 後期 文系第3問・理系第3問

解答

平面 $\alpha$ を固定し、初めに面 $ABC$ が $\alpha$ と垂直になるよう四面体を置く。面 $ABC$ は鋭角三角形なので、$C^{\prime }$ は辺 $AB$ の内部にあり

一方、この時点で $D^{\prime }$ が $AB$ 上にない限り $\angle A{D}^{\prime }B<\pi$ である。

次に辺 $AB$ を軸として、面 $ABD$ が $\alpha$ と垂直になるまで四面体を連続的に回転する。終状態では面 $ABD$ が鋭角三角形であるため $D^{\prime }$ は辺 $AB$ の内部にあり

回転中、二つの角は射影点の座標とともに連続的に変化する。したがって中間値の定理により、途中で

となる状態が存在する。円周角の定理の逆を向きを含めて用いれば、このとき $A,B,C^{\prime },D^{\prime }$ は同一円周上にある。

最後に相異なることを確認する。$C^{\prime },D^{\prime }$ はそれぞれ、$AB$ 上への $C,D$ の射影位置を通り $AB$ に垂直な定直線上を動く。もしこの2定直線が一致すれば $CD\perp AB$ となり仮定に反するから、$C^{\prime }\ne D^{\prime }$ である。また全ての面が鋭角三角形なので、$C,D$ の $AB$ 上への射影はともに辺 $AB$ の内部にあり、$C^{\prime },D^{\prime }$ は $A,B$ と一致しない。よって題意を満たす平面 $\alpha$ が存在する。