京都大学 2002年度後期・文理共通数学後期文系第1問・理系第1問解答・解説

問題

1から $n$ の札を無作為に順に取り出す。最初の札と、それまでの全札より番号が大きい札を箱 $A$ へ、その他を箱 $B$ へ入れる。全札を入れたとき箱 $B$ にちょうど1枚ある確率を求めよ。

出典：京都大学 2002年度後期日程第2次学力試験後期・文理共通後期文系第1問・理系第1問

方針

箱Aに入る札は、順列を左から見たときの新記録である。したがって箱Bが1枚とは、新記録でない項がちょうど1つの順列を数えることになる。最小札1を挿入する帰納的な数え上げで個数を求める。

解答

条件を満たす順列の個数を $N_{n}$ とする。番号1を除いた $2, 3, \dots, n$ の相対的な順序を考える。

1を先頭に置く場合、1は新記録になり、残りの順列には新記録でない項がちょうど1つ必要だから $N_{n - 1}$ 通りである。一方、 $2, 3, \dots, n$ を増加順に並べ、その先頭以外の $n - 1$ 箇所のいずれかへ1を挿入すれば、1だけが新記録でない項になる。逆に、1が先頭でない場合に他の項がすべて新記録となるには、他の札は増加順でなければならない。よって

N_{n} = N_{n - 1} + n - 1, N_{2} = 1.

したがって

N_{n} = 1 + 2 + \dots + (n - 1) = \frac{n ( n - 1 )}{2} .

全順列は $n!$ 通りなので、求める確率は

\frac{N _{n}}{n !} = \frac{n ( n - 1 )}{2 n !} = \frac{1}{2 ( n - 2 )!} .

京都大学 2002年度後期・文理共通数学 後期 文系第1問・理系第1問

問題

方針

解答

京都大学 2002年度
後期・文理共通数学後期文系第1問・理系第1問