問題
相異なる4つの複素数，，，に対してと置く．このとき，以下を証明せよ．
(1) 複素数が単位円上にあるための必要十分条件はである．
(2) ，，，が単位円上にあるとき，は実数である．
(3) ，，が単位円上にあり，が実数であれば，は単位円上にある．
出典：京都大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
(1)は から単位円上の条件を共役で表す。(2)は単位円上の各点について を代入し、差 を整理して を示す。(3)では とおき、 を使う。 についてだけ を代入し、共通因子を消すと が出るので、相異なる条件から を得る。
解答
(1)
複素数 が単位円上にあることは と同値である。このとき であり、 だから、両辺を で割って を得る。
逆に が成り立つなら、右辺が定義されているので である。両辺に をかけると であり、すなわち である。 だから となり、 は単位円上にある。よって必要十分条件が示された。
(2)
が単位円上にあるとする。(1)より である。したがって
である。ここで を用いると、分子と分母に現れる は打ち消し合い、また符号も2個ずつ出るので となる。したがって は実数である。
(3)
とおく。 は単位円上にあるので、(1)より である。また は実数だから である。
まず と書ける。一方、共役を取ると
である。前半の比は
である。また
である。したがって となる。 であり、 は相異なるので、共通因子 を消して を得る。分母は0でない。両辺を払うと である。展開して共通項を消すと となる。すなわち である。 だから であり、 である。よって は単位円上にある。