京都大学 1999年度
文系数学 第1問

解答

辺 $BC$ の長さを $2a$ とし、$M$ を原点、直線 $BC$ を $x$ 軸にとる。すると $B=(-a,0),C=(a,0)$ とおける。$A$ の座標を $A=(u,h)$ とおくと、$AH\perp BC$ より $H=(u,0)$ である。点 $P$ は線分 $MH$ 上にあるから、ある実数 $\lambda$ を用いて $0\leqq \lambda \leqq 1,P=(\lambda u,0)$ と書ける。

まず左辺を計算する。 $A{B}^2=(u+a{)}^2+h^2,A{C}^2=(u-a{)}^2+h^2$ であるから $A{B}^2+A{C}^2=2u^2+2a^2+2h^2$ である。

次に右辺を計算する。 $A{P}^2=(u-\lambda u{)}^2+h^2=(1-\lambda {)}^2{u}^2+h^2$ であり、また $B{P}^2=(\lambda u+a{)}^2,C{P}^2=(\lambda u-a{)}^2$ だから $B{P}^2+C{P}^2=2{\lambda }^2{u}^2+2a^2$ である。したがって $2A{P}^2+B{P}^2+C{P}^2=2(1-\lambda {)}^2{u}^2+2h^2+2{\lambda }^2{u}^2+2a^2$ である。

よって両辺の差は $A{B}^2+A{C}^2-(2A{P}^2+B{P}^2+C{P}^2)$ $=2u^2+2a^2+2h^2-\{2(1-\lambda {)}^2{u}^2+2h^2+2{\lambda }^2{u}^2+2a^2\}$ $=4\lambda (1-\lambda )u^2$ である。ここで $0\leqq \lambda \leqq 1$ だから $4\lambda (1-\lambda )u^2\geqq 0$ である。したがって $A{B}^2+A{C}^2\geqq 2A{P}^2+B{P}^2+C{P}^2$ が成り立つ。

別解。中点 $M$ に関するアポロニウスの定理を用いると $A{B}^2+A{C}^2=2(A{M}^2+B{M}^2)$ であり、同様に $B{P}^2+C{P}^2=2(P{M}^2+B{M}^2)$ である。したがって $A{B}^2+A{C}^2-(2A{P}^2+B{P}^2+C{P}^2)=2(A{M}^2-P{M}^2-A{P}^2)$ となる。いま $AH\perp BC$ で、$M,P,H$ は一直線上にあり、しかも $P$ は線分 $MH$ 上にある。よって $A{M}^2=A{H}^2+H{M}^2,A{P}^2=A{H}^2+H{P}^2$ であるから $A{M}^2-P{M}^2-A{P}^2=H{M}^2-P{M}^2-H{P}^2$ である。$HM=MP+PH$ より $H{M}^2-P{M}^2-H{P}^2=2MP\cdot PH\geqq 0$ となり、同じ不等式が従う。