問題
袋の中に青色，赤色，白色の形の同じ玉がそれぞれ3個ずつ入っている．各色の3個の玉にはそれぞれ1，2，3の番号がついている．これら9個の玉をよくかきまぜて袋から同時に3個の玉を取り出す．取り出した3個のうちに同色のものが他になく，同番号のものも他にない玉の個数を得点とする．たとえば，青1番，赤1番，白3番を取り出したときの得点は1で，青2番，赤2番，赤3番を取り出したときの得点は0である．このとき以下の問に答えよ．
(1) 得点がになるような取り出し方の数をとするとき，，，，を求めよ．
(2) 得点の期待値を求めよ．
方針
色を行、番号を列とする の表で考える。選ばれた3個の玉を3個のマスとみなし、あるマスが得点になる条件を「同じ行にも同じ列にも、他の選択マスがない」と言い換える。(1)は得点3、得点2が不可能、得点1を順に数え、全体 から得点0を出す。(2)は分布から計算し、指標を使う別解でも確認する。
解答
(1)
色を行、番号を列とする の表で考える。取り出した玉は表の中の3つのマスに対応する。ある玉が得点になるのは、そのマスと同じ行にも同じ列にも、他に選ばれたマスがないときである。
全体の取り出し方は 通りである。
まず得点が3になる場合を数える。これは3つのマスがすべて異なる行、かつすべて異なる列にある場合である。3つの行をすべて使い、それぞれに異なる列を対応させればよいから である。
次に得点が2になる場合は存在しないことを示す。もし2つのマスが得点になっているなら、その2つは互いに行も列も異なる。残り1つのマスは、得点になっている2つのマスの行と列を避けなければ、そのどちらかの得点性を壊してしまう。 の表では、2つの行と2つの列を避けると残るマスはただ1つであり、そのマスもまた同じ行・同じ列に他の選択マスを持たない。したがって3つとも得点になる。よって である。
得点が1になる場合を数える。得点になるマスを先に選ぶと、選び方は9通りである。そのマスの行と列を除くと、残りは の4マスである。得点になるマスを本当に1個だけにするには、残り2マスが互いに同じ行または同じ列にある必要がある。 の4マスから2マスを選ぶ方法は 通りで、そのうち対角線上の2通りは互いに行も列も異なるので、残りの4通りが条件を満たす。したがって である。
よって である。以上より である。
(2)
得点の期待値は である。
別解。期待値だけなら、各玉が得点になるかどうかを足し合わせて考えると短い。特定の1個の玉に注目する。この玉が得点になるには、その玉を含めて取り出し、残り2個がその玉と同じ色でも同じ番号でもない4個の中から選ばれればよい。そのような取り出し方は 通りである。全体は84通りなので、この玉が得点になる確率は である。玉は9個あるから、得点の期待値は である。