問題
直角三角形に半径の円が内接していて，三角形の3辺の長さの和と円の直径との和が2となっている．このとき以下の問に答えよ．
(1) この三角形の斜辺の長さをで表せ．
(2) の値が問題の条件を満たしながら変化するとき，この三角形の面積の最大値を求めよ．
出典：京都大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第1問・理系第1問
方針
直角三角形の2直角辺を置き、内接円半径の公式と周長条件を合わせて、まず直角辺の和が一定であることを引き出す。斜辺はそこからただちに で表せる。面積は内接円半径と半周長の積として に直し、最後は直角辺の和が1で固定されたとき斜辺が最小になる場合、すなわち二等辺直角三角形の場合を調べて最大値を決める。
解答
(1)
直角三角形の直角をはさむ2辺の長さを 、斜辺の長さを とする。内接円の半径を 、面積を 、半周長を とすると である。一方、直角三角形なので 、また である。したがって である。ここで だから である。
問題の条件は、3辺の長さの和と直径 の和が であること、すなわち である。いま だから となり、 を得る。よって であるから、斜辺の長さは である。
(2)
半周長は である。(1)より なので である。したがって面積は である。
あとは の取り得る範囲を調べる。 のもとで である。また だから である。等号は のときに成り立つ。よって であり、 である。
ここで の範囲では は増加する。実際、 なら である。したがって面積の最大は のときにとる。このとき
である。
別解。 が得られた後は、面積を直接 と見てもよい。 で が最大になるのは のときで、その最大値は である。したがって面積の最大値は である。このとき斜辺は 、よって となり、問題の条件も満たす。