京都大学 1997年度文理共通数学文系第5問・理系第5問解答・解説

問題

箱の中に1と書かれたカードと3と書かれたカードが合計 $N$ 枚入れてある．1回の試行で，箱の中からでたらめに1枚のカードを取り出し，その数字を見た上で，箱の中に戻す．
$A$ ， $B$ 2人がそれぞれ試行を2回または3回行って，その間に取り出したカードに書かれている数の合計が大きい方を勝ちとするゲームを行う．ただし，1人が3回の試行を行って，取り出した数の合計が7または9の場合には，その人の得点は0とする規則である．
そこで $A$ ， $B$ はそれぞれ次の作戦でゲームを行うことにした．
$A$ ：2回目までの合計が2のときは3回目を行い，4または6のときは3回目を行わない．
$B$ ：2回目までの合計が2または4のときは3回目を行い，6のときは3回目を行わない．
1と書かれたカードの枚数を $n$ $(0 < n < N)$ とし、 $p = \frac{n}{N}$ とする．

(1) $A$ の得点の期待値 $E_{A}$ ， $B$ の得点の期待値 $E_{B}$ をそれぞれ $p$ で表せ．また， $E_{A} > E_{B}$ となるための $p$ の条件を求めよ．

(2) $A$ の勝つ確率を $P_{A}$ ， $B$ の勝つ確率を $P_{B}$ とするとき：「 $E_{A} > E_{B}$ ならば $P_{A} > P_{B}$ 」といえるか？

出典：京都大学 1997年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第5問・理系第5問

方針

$1$ が出る確率を $p$ 、 $3$ が出る確率を $q = 1 - p$ とおく。まずAとBそれぞれについて、2回目までの和ごとの行動を分け、最終得点の確率分布を表にする。期待値はその表から直接計算し、 $E_{A} - E_{B}$ を因数分解して条件を出す。(2)では期待値ではなく勝つ確率を比較するので、同じ分布表から $P_{A} - P_{B}$ を独立な2人の得点の大小比較として計算する。 $E_{A} > E_{B}$ を満たすが $P_{A} < P_{B}$ となる $p$ を1つ示せば、命題は否定できる。

解答

(1)

$3$ が出る確率を $q = 1 - p$ とおく。

Aは、2回目までの合計が $2$ のときだけ3回目を行う。したがってAの得点分布は次のようになる。

得点 確率 3 p^{3} 4 2 pq 5 p^{2} q 6 q^{2}

実際、最初の2回が $1, 1$ なら3回目を行い、3回目が $1$ なら得点3、 $3$ なら得点5である。最初の2回の和が $4$ または $6$ ならそこで止まる。

よって

E_{A} = 3 p^{3} + 4 \cdot 2 pq + 5 p^{2} q + 6 q^{2} = - 2 p^{3} + 3 p^{2} - 4 p + 6

である。

Bは、2回目までの合計が $2$ または $4$ のとき3回目を行う。ただし3回行って合計が $7$ または $9$ なら得点は0である。Bの得点分布は

得点 確率 0 2 p q^{2} 3 p^{3} 5 3 p^{2} q 6 q^{2}

である。ここで得点0は、最初の2回が $1, 3$ または $3, 1$ 、3回目が $3$ の場合である。

したがって

E_{B} = 3 p^{3} + 5 \cdot 3 p^{2} q + 6 q^{2} = - 12 p^{3} + 21 p^{2} - 12 p + 6

である。ゆえに

E_{A} - E_{B} = 10 p^{3} - 18 p^{2} + 8 p = 2 p (1 - p) (4 - 5 p)

となる。 $0 < p < 1$ より $2 p (1 - p) > 0$ だから $E_{A} > E_{B}$ となる条件は $0 < p < \frac{4}{5}$ である。

(2)

AとBの得点は独立であり、上の分布表から勝率を比較できる。Aの得点がBの得点より大きい場合を足し、Bの得点がAの得点より大きい場合を引くと

P_{A} - P_{B} = p^{3} (2 p q^{2}) + 2 pq (2 p q^{2} + p^{3}) + p^{2} q (2 p q^{2} + p^{3}) + q^{2} (2 p q^{2} + p^{3} + 3 p^{2} q) - 3 p^{2} q (p^{3} + 2 pq) - q^{2} (p^{3} + 2 pq + p^{2} q) .

これを $q = 1 - p$ で整理すると $P_{A} - P_{B} = 2 p^{2} (1 - p)^{2} (p^{2} - 4 p + 2)$ である。

ここで $p = \frac{3}{4}$ とする。このとき $0 < p < 4/5$ なので、(1)より $E_{A} > E_{B}$ である。一方、 $p^{2} - 4 p + 2 = \frac{9}{16} - 3 + 2 = - \frac{7}{16} < 0$ であるから $P_{A} - P_{B} < 0$ すなわち $P_{A} < P_{B}$ である。

したがって $E_{A} > E_{B} ならば P_{A} > P_{B}$ とはいえない。

京都大学 1997年度文理共通数学 文系第5問・理系第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1997年度
文理共通数学文系第5問・理系第5問