問題
単位円上の点をとり，定点からへ線分を引き，その線分のの側の延長線上に点をとなるようにとる．ただし，は線分の長さを表す．
(1) ，とおいて，をで表せ．ただし，は原点である．
(2) 点が円上を動くとき，点の描く軌跡を求めよ．
出典：京都大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第1問・理系第1問
方針
まず三角形で余弦定理を使い、からを表す。次によりであることを三角形に入れると、を含む項が消えてが出る。軌跡では、が半径2の円上にあるだけでなく、直線が単位円と交わる方向に限られることを確認する。境界は点から単位円へ引いた2本の接線で決まり、対応するを求めて円弧の範囲を決める。
解答
(1)
とおく。, , であるから、三角形に余弦定理を用いて すなわち を得る。
条件より である。はを結ぶ直線上での外側にあるので である。として、三角形に余弦定理を用いると
である。ここにを代入すると
したがってより である。
(2)
(1)より、は円 上にある。
ただし、円全体が軌跡になるわけではない。点から見れば、直線が単位円と交わり、その交点のうちから見て側にある点がでなければならない。したがって、から単位円に引いた2本の接線が軌跡の境界になる。
接点をとすると、接線は半径と直交するので である。を用いると すなわち である。この接線と円との、でない方の交点は である。
また、のときはとなり、右側の円弧が実際に通過される。よって求める軌跡は で表される円弧である。端点も、接線の場合として含まれる。
別解。だけなら座標でも確認できる。とおくとであり、 である。はから方向にだけ進んだ点なので である。したがって
よっては同じく半径2の円上にある。範囲は主解と同じく、点から単位円を見る2本の接線で切られる右側の円弧である。