京都大学 1995年度後期・文理共通数学後期文系・理系第2問解答・解説

問題

円周上の時計回りの3点 $A_{n}, B_{n}, C_{n}$ を、各隣接弧の中点へ同時に移す。弧 $A_{n} B_{n}$ の中心角を $α_{n}$ とする。

(1) $4 α_{n + 1} - 2 α_{n} + α_{n - 1} = 2 π$ を示せ。

(2) $α_{n + 2} = 3 π /4 - α_{n - 1} /8$ を示せ。

(3) $α_{3 n}$ を $α_{0}$ で表せ。

出典：京都大学 1995年度後期日程第2次学力試験後期・文理共通後期文系・理系第2問

3本の弧の中心角を置き、次段階の弧が隣り合う2弧の半分ずつからなることを使う。得た漸化式を3段ごとの一次漸化式へ変える。

弧 $A_{n} B_{n}, B_{n} C_{n}, C_{n} A_{n}$ の中心角をそれぞれ $α_{n}, β_{n}, γ_{n}$ とすると

α_{n} + β_{n} + γ_{n} = 2 π, α_{n + 1} = \frac{α _{n} + β _{n}}{2} .

$β_{n - 1} = 2 α_{n} - α_{n - 1}$ であり、また

β_{n} = \frac{β _{n - 1} + γ _{n - 1}}{2} = \frac{2 π - α _{n - 1}}{2} .

従って

2 α_{n + 1} = α_{n} + π - \frac{α _{n - 1}}{2},

すなわち

4 α_{n + 1} - 2 α_{n} + α_{n - 1} = 2 π .

(1)を一つずらして

α_{n + 2} = \frac{π}{2} + \frac{α _{n + 1}}{2} - \frac{α _{n}}{4} .

ここへ $α_{n + 1} = π /2 + α_{n} /2 - α_{n - 1} /4$ を代入すると

α_{n + 2} = \frac{3 π}{4} - \frac{α _{n - 1}}{8} .

$u_{n} = α_{3 n}$ とおけば(2)より

u_{n + 1} = \frac{3 π}{4} - \frac{u _{n}}{8} .

この漸化式の定常値は $2 π /3$ なので

u_{n} - \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{8} (u_{n - 1} - \frac{2 π}{3}) .

従って

α_{3 n} = \frac{2 π}{3} + (- \frac{1}{8})^{n} (α_{0} - \frac{2 π}{3}) .