京都大学 1995年度後期・文理共通数学後期文系・理系第1問解答・解説

問題

$x^{n}$ を $x^{2} + a x + b$ で割った余りを $r_{n} x + s_{n}$ とする。(イ) $x^{2} + a x + b = (x - α) (x - β)$ 、 $α > β > 0$ 。(ロ) すべての自然数 $n$ で $r_{n} < r_{n + 1}$ 。

(1) (イ)(ロ)のもとで $β - 1 < (α / β)^{n} (α - 1)$ を示せ。

(2) (イ)(ロ)が成り立つ $(a, b)$ の必要十分条件を求め図示せよ。

出典：京都大学 1995年度後期日程第2次学力試験後期・文理共通後期文系・理系第1問

方針

2根へ余り式を代入して $r_{n}$ を明示し、単調条件を根の不等式へ翻訳する。全 $n$ での成立条件を根の1との大小で分類してから係数平面へ戻す。

解答

$α, β$ を余り式へ代入すると

r_{n} α + s_{n} = α^{n}, r_{n} β + s_{n} = β^{n},

従って

r_{n} = \frac{α ^{n} - β ^{n}}{α - β} .

(1)

$r_{n + 1} > r_{n}$ は

α^{n} (α - 1) > β^{n} (β - 1)

と同値である。 $β^{n} > 0$ で割れば

β - 1 < (\frac{α}{β})^{n} (α - 1) .

(2)

$α > β > 0$ のもとで上の不等式がすべての $n$ で成り立つ条件を調べる。 $α ≧ 1$ なら、 $β ≦ 1$ では左辺が0以下・右辺が0以上、 $β > 1$ では $α / β > 1$ かつ $α - 1 > β - 1$ なので常に成り立つ。逆に $α < 1$ なら $0 < β < α < 1$ であり、条件は

(α / β)^{n} (1 - α) < 1 - β

となるが、左辺は $n \to \infty$ で発散するので不可能である。従って根での必要十分条件は

α > β > 0, α ≧ 1.

解と係数の関係から $a = - (α + β) < 0, b = α β > 0$ 、判別式 $a^{2} - 4 b > 0$ である。大きい根 $(- a + a^{2} - 4 b) /2 ≧ 1$ を整理すると、 $a ≦ - 2$ では自動的に成り立ち、 $- 2 < a < 0$ では $b ≦ - a - 1$ となる。正値・判別式も合わせて

{a ≦ - 2, 0 < b < a^{2} /4, - 2 < a < - 1, 0 < b ≦ - a - 1.

これが求める範囲である。第1領域は放物線 $b = a^{2} /4$ の下側で放物線を含まず、第2領域は直線 $b = - a - 1$ 以下で直線を含む。

京都大学 1995年度後期・文理共通数学 後期 文系・理系第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1995年度
後期・文理共通数学後期文系・理系第1問