問題
1番から7番まで番号のついた席が番号順に一列に並んでいる．客が順に到着して次のように着席していくとする．
(イ) 両端の席および先客が着席している隣の席に次の客が着席する確率は，すべて等しい．
(ロ) 両端が空席の席に着席する確率は，隣の席にすでに先客が着席している席または端の席に着席する確率に比べて2倍である．
このとき，
(1) 3人目の客が到着したときに，すでに1番と3番の席に先客が着席している確率を求めよ．
(2) 4人目の客が到着したときに，すでに2番，4番，6番の席に先客が着席している確率を求めよ．
方針
空席ごとに「選ばれやすさ」の重みを置く。端席または隣に着席者がいる空席は重み 、両隣が空席の内部席は重み とし、各時点の重みの総和を分母にする。(1)は と の2順序、(2)は の6順序をすべて列挙して加える。
解答
(1)
各空席に重みをつける。端席、または隣に先客がいる空席の重みを 、両隣が空席である内部の席の重みを とする。このとき、次の客がある席に座る確率は である。
最初は1番と7番の重みが 、2番から6番の重みが なので、重みの和は である。
3人目が到着した時点で1番と3番に先客がいるには、最初の2人が の順に座るしかない。
まず の場合、1番に座る確率は である。1番に人が座った後、空席の重みの和は で、3番の重みは だから である。
次に の場合、3番に座る確率は である。3番に人が座った後、空席の重みの和は で、1番の重みは だから である。したがって求める確率は
である。
(2)
4人目が到着した時点で2番、4番、6番に先客がいるには、最初の3人がこの3席に座る必要がある。順序は6通りである。
各順序の確率を、各時点の重みの和を確認しながら計算する。最初に2番または6番へ座った後の重みの和は 、最初に4番へ座った後の重みの和は である。また、指定席のうち2席が埋まった後、残り1席に座る直前の重みの和はいずれも である。よって
である。
したがって求める確率は
である。