問題
行列で表される1次変換をとする．平面上の1点を，原点をとする．のによる像を，軸に垂直で点を通る直線と軸との交点をとする．点がに一致しない範囲を動くとき，
となるように，の値を定めよ．
出典：京都大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第1問・理系第1問
方針
とおく。 は の 座標だけで決まるので、まず一次式 の最大比から を得る。次に を の二次式の比として見て、値 が端の値になる条件を判別式で求める。平方比が であることから を決定する。
解答
とおく。行列の作用より である。したがって
である。
任意の に対して であり、 を と同じ向きにとれば等号が成り立つ。よって最初の条件から を得る。
次に
を考える。この値を とすると、ある でその値をとることは が を解にもつことを意味する。端の値ではこの二次式がちょうど接するので となる。整理すると である。
この二次方程式の大きい根を 、小さい根を とすれば、 の最大値と最小値がそれぞれ である。問題文では の最大値と最小値の比が なので すなわち である。また根と係数の関係より である。したがって であり、最小値は正だから である。よって となる。
これと を連立して を得る。条件は の符号を変えても変わらないので である。符号はそれぞれ独立に選べる。
別解。 として とおくと である。よってその最大値・最小値は である。 とおき、 とすれば、中心は 、振幅は である。平方比が であることから、振幅は中心の 倍でなければならないので
となる。整理すると であり、正の解は である。したがって同じく が得られる。