問題
3人の選手，，が次の方式で優勝を争う．
まずとが対戦する．そのあとは，一つの対戦が終わると，その勝者と休んでいた選手が勝負をする．このようにして対戦をくり返し，先に2勝した選手を優勝者とする．(2連勝でなくてもよい．)
各回の勝負で引き分けはなく，とは互角の力量であるが，が，に勝つ確率はともにである．
(1) 2回の対戦で優勝者が決まる確率を求めよ．
(2) ちょうど4回目の対戦で優勝者が決まる確率を求めよ．
(3) ，，の優勝する確率が等しくなるようなの値を求めよ．
出典：京都大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文理共通 後期 文系・理系第4問
方針
優勝が決まるまで高々4試合である。第1試合の勝者を対称性により代表させ、勝者列を列挙する。(3)は の対称性を使い、 の優勝確率と残りの半分を等置する。
解答
(1)
第1戦の勝者が第2戦でも勝てば、その選手が2勝して優勝する。第1戦の勝者は または であり、いずれも に勝つ確率は である。よって求める確率は である。
(2)
第2戦で が勝つ確率は である。このとき3選手の勝数はすべて1となり、第3戦は と第1戦の敗者との対戦である。第4戦まで続くためには第3戦でその敗者が に勝つ必要があり、その確率は である。すると第4戦では必ず誰かが2勝する。したがって求める確率は
である。
(3)
が優勝するには、第2戦、第3戦を続けて勝つ必要十分があるから、その確率は である。 は対称なので、それぞれの優勝確率は (/2) である。3人の確率が等しい条件は
であり、 より
である。