問題
を満たす実数，，について，が成り立つことを示せ．また，ここで等号が成り立つのはどんな場合か．
出典：京都大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文理共通 後期 文系・理系第1問
方針
和が0である3数を正のものと負のものに分ける。符号が異なる1数の絶対値は、残る2数の絶対値の和になるので、絶対値を外して差を計算する。等号条件は残る2数の積が0となる場合まで戻して判定する。
解答
のときは等号が成り立つ。以下、少なくとも1つは0でないとする。 だから、3数がすべて同符号になることはない。文字を入れ替えて、 としてよい。このとき である。
したがって
である。よって所要の不等式が成り立つ。
上の差が0となるのは のときである。これは、もとの3数のうち少なくとも1つが0であることと同値である。実際、例えば なら であり、両辺はともに となる。したがって等号成立条件は、 の少なくとも1つが0であることである。