問題
は0または正の整数とする．を，，，によって定める．を3で割った余りをとし，とおく．
(1) を求めよ．
(2) であることを示せ．
(3) が成り立つことを示せ．
出典：京都大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第2問・理系第2問
方針
数列そのものではなく，3で割った余りの組を追う。漸化式が2つ前までで決まるため，同じ組が再び現れれば以後は周期的に繰り返す。(1)でまで確認し，(2)では1周期8項の和がであることを使う。(3)では個の項を8項周期のまとまりと端数に分け，端数部分の和を表で押さえて上下評価する。
解答
(1)
を3で割った余りで見れば である。はのいずれかなので，順に計算すると
である。
(2)
(1)より である。余りの列は隣り合う2項で次が決まるから，これ以後も同じ並びが繰り返される。したがって がすべてので成り立つ。
また である。よって
であり，後ろの8項は1周期分の和だからである。したがって を得る。
(3)
はからまでの項の和である。そこで と書く。8項1周期の和は9であるから，周期分の和はである。
端数項の和をとすると，は
である。この表から各について が確かめられる。したがって であり，下からは となる。上からは である。
よって が成り立つ。