問題
，，，は2行2列の行列で，，とする．
(1) ならばとなる実数，が存在することを示せ．
(2) ，が成り立つならば，が成り立つことを示せ．
(3) ，を満たす行列をすべて求めよ．
出典：京都大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第1問・理系第1問
方針
を成分でおいてとを実際に掛け，等しい成分からの形を絞る。そこで得られるという表示を(2)と(3)の共通の土台にする。(2)では2つの行列をどちらもとの式に直せば，積の順序を入れ替えても同じ式になる。(3)ではを先に求め，をの係数との係数の2条件に分けて解く。最後に得た候補がすべて条件を満たすことも確認する。
解答
(1)
とおく。このとき
であり，
である。より成分を比べると を得る。ほかの成分の等式はこの2式から従う。
したがって
である。よって，とすれば，と表せる。
(2)
(1)より，ある実数を用いて と書ける。は単位行列なので，，である。よって であり，同じ計算で となる。右辺は一致するから である。
(3)
(1)より と書ける。まず
である。したがって より となる。
ここでとは一次独立である。実際，なら，非対角成分から，さらに対角成分からである。よってとなるための条件は である。
第1式は である。 のとき，第2式よりなので である。 のとき，第2式より なので である。したがって を得る。
以上より求める行列は
である。これらは上のの4組から得られており，いずれもかつを満たす。