京都大学 1993年度後期・文理共通数学後期文系・理系第2問解答・解説

問題

実数 $a$ に対して， $f (x) = x^{3} - 3 a x$ とおく．

(1) $t$ を実数とする．方程式 $f (x) = t$ が相異なる3個の実数解を持つために $a$ と $t$ が満たすべき条件を求めよ．

(2) $g (x) = f (f (x))$ とおく．方程式 $g (x) = 0$ が相異なる9個の実数解を持つような $a$ の範囲を求めよ．

出典：京都大学 1993年度後期日程第2次学力試験後期・文理共通後期文系・理系第2問

方針

三次関数の極大値・極小値から水平線との交点数を判定する。(2)は $f (f (x)) = 0$ を、 $f (x)$ が $f (u) = 0$ の3根を取る3本の方程式に分け、それぞれが3実根を持つ条件にする。

解答

(1)

$f^{'} (x) = 3 (x^{2} - a)$ である。 $a ≦ 0$ では $f$ は単調増加で、相異なる3実根をもたない。 $a > 0$ では $x = - a$ で極大値 $2 a^{3/2}$ 、 $x = a$ で極小値 $- 2 a^{3/2}$ をとる。よって必要十分条件は

a > 0, ∣ t ∣ < 2 a^{3/2} .

(2)

$a > 0$ のとき、 $f (u) = 0$ の根は

u = 0, u = 3 a, u = - 3 a

である。したがって $f (f (x)) = 0$ が9個の相異なる実根をもつには、3つの方程式

f (x) = 0, f (x) = 3 a, f (x) = - 3 a

がそれぞれ相異なる3実根をもつことが必要十分である。(1)より

3 a < 2 a^{3/2} .

$a > 0$ で割ると $a > 3 /2$ となる。3本の方程式の解集合は互いに交わらないので、求める範囲は

a > \frac{3}{2}

である。

京都大学 1993年度後期・文理共通数学 後期 文系・理系第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1993年度
後期・文理共通数学後期文系・理系第2問