京都大学 1993年度後期・文理共通数学後期文系・理系第1問解答・解説

問題

$f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ が次の3条件を満たしているとする．

(1) $x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x ^{3} - x} = 1$

(2) 曲線 $y = f (x)$ の $x = 0$ における接線の傾きは負である．

(3) 2点 $(0, f (0))$ と $(1, f (1))$ を通る直線を $l$ とする．曲線 $y = f (x)$ と直線 $l$ で囲まれる図形のうち， $0 ≦ x ≦ 1$ の部分の面積は $\frac{3}{4}$ である．

このとき， $a$ ， $b$ ， $c$ の値を求めよ．

出典：京都大学 1993年度後期日程第2次学力試験後期・文理共通後期文系・理系第1問

極限条件から $f (1) = 0, f^{'} (1) = 2$ を得る。接線条件で係数の範囲を絞ると、曲線と弦の上下関係が区間全体で確定するため、絶対値を外して面積を計算する。

分母は $x = 1$ で0になるので、極限が有限であるには $f (1) = 0$ が必要である。また

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x ^{3} - x} = \frac{f ^{'} ( 1 )}{3 - 1} = 1

より $f^{'} (1) = 2$ である。したがって

1 + a + b + c = 0, 3 + 2 a + b = 2.

これより $b = - 1 - 2 a, c = a$ を得る。(2)

$x = 0$ における接線の傾きは $f^{'} (0) = b$ だから、条件(2)より $a > - 1/2$ である。

弦 $l$ は $(0, a), (1, 0)$ を通るので $y = a (1 - x)$ である。曲線との差は

f (x) - a (1 - x) = x (x - 1) (x + a + 1) .

$0 ≦ x ≦ 1$ かつ $a > - 1/2$ より、この差は0以下である。よって面積は

\int_{0}^{1} {a (1 - x) - f (x)} d x = \int_{0}^{1} x (1 - x) (x + a + 1) d x = \frac{1}{12} + \frac{a + 1}{6} = \frac{2 a + 3}{12} .

これが $3/4$ だから $2 a + 3 = 9$ 、従って

a = 3, b = - 7, c = 3.