京都大学 1993年度文理共通数学文系第5問・理系第5問解答・解説

問題

$n$ を自然数とする．さいころを $2 n$ 回投げて $n$ 回以上偶数の目が出る確率を $p_{n}$ とするとき， $p_{n} ≧ \frac{1}{2} + \frac{1}{4 n}$ であることを示せ．

出典：京都大学 1993年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第5問・理系第5問

方針

偶数の目が出る回数を $X$ と見ると， $X$ は $2 n$ 回中の成功回数で，成功確率は $1/2$ である。分布は $n$ を中心に対称なので， $P (X ≧ n)$ は $1/2$ に中央項の半分を足した値になる。あとは中央項 $_{2 n} C_{n} / 2^{2 n}$ が $1/ (2 n)$ 以上であることを，隣り合う比を使った帰納法で示す。

解答

$2 n$ 回のうち偶数の目が出る回数を $X$ とする。1回のさいころ投げで偶数が出る確率は $1/2$ なので $P (X = k) = \frac{_{2 n} C _{k}}{2 ^{2 n}}$ である。

奇数と偶数を入れ替える対応により， $X = k$ と $X = 2 n - k$ の確率は等しい。したがって $P (X > n) = P (X < n)$ であり， $1 = P (X < n) + P (X = n) + P (X > n)$ から $p_{n} = P (X ≧ n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P (X = n)$ を得る。すなわち $p_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{_{2 n} C _{n}}{2 ^{2 n}}$ である。

ここで $r_{n} = \frac{_{2 n} C _{n}}{2 ^{2 n}}$ とおく。示したいことは $r_{n} ≧ 1/ (2 n)$ である。まず $r_{1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ なので成り立つ。次に

\frac{r _{n + 1}}{r _{n}} = \frac{_{2 n + 2} C _{n + 1}}{2 ^{2 n + 2}} \cdot \frac{2 ^{2 n}}{_{2 n} C _{n}} = \frac{( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 )}{( n + 1 ) ^{2}} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 n + 1}{2 n + 2}

である。 $r_{n} ≧ 1/ (2 n)$ と仮定すると $r_{n + 1} ≧ \frac{1}{2 n} \cdot \frac{2 n + 1}{2 n + 2}$ であり，右辺は $\frac{2 n + 1}{2 n ( 2 n + 2 )} ≧ \frac{1}{2 n + 2}$ を満たす。よって帰納法により，すべての自然数 $n$ で $r_{n} ≧ \frac{1}{2 n}$ である。

したがって

p_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} r_{n} ≧ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4 n}

となる。これで示された。

京都大学 1993年度文理共通数学 文系第5問・理系第5問

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京都大学 1993年度
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