京都大学 1992年度後期・文系数学後期第5問解答・解説

問題

(1) $n$ を自然数とする(ただし $n ≧ 2$ )．0と1からなる数列 $x_{1}, x_{2}, \dots\dots, x_{n}$ で，同じ数が3個以上は続いて並ばないものを考える．このような数列のうち， $x_{n - 1} = x_{n}$ を満たすものの個数を $a_{n}$ ， $x_{n - 1} \neq = x_{n}$ を満たすものの個数を $b_{n}$ とおく． $a_{n + 1}$ と $b_{n + 1}$ は，それぞれ $a_{n}$ ， $b_{n}$ によってどのように表わされるか．

(2) 硬貨をくり返し投げる．3回続けて同じ面が出たら，そこで投げるのをやめる．ちょうど $n$ 回投げてやめる確率を $p_{n}$ とおく． $p_{7}$ を求めよ．

出典：京都大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第5問

方針

末尾2項が同じか異なるかの2状態で遷移を数える。停止確率は、停止直前の長さ $n - 1$ の列が同じ2項で終わり、次も同じ値になる場合数から求める。

解答

(1)

末尾2項が同じ列には次に異なる値しか付けられず、末尾2項が異なる列には次に同じ値・異なる値を1通りずつ付けられる。従って

a_{n + 1} = b_{n}, b_{n + 1} = a_{n} + b_{n} .

初期値は $a_{2} = 2, b_{2} = 2$ である。

(2)

ちょうど $n$ 回で停止するには、最初の $n - 1$ 回には3連続がなく、その末尾2回が同じ面で、第 $n$ 回も同じ面となればよい。従って

p_{n} = \frac{a _{n - 1}}{2 ^{n}} .

漸化式から

(a_{2}, b_{2}) = (2, 2), (a_{3}, b_{3}) = (2, 4), (a_{4}, b_{4}) = (4, 6),

(a_{5}, b_{5}) = (6, 10), a_{6} = 10.

よって

p_{7} = \frac{10}{2 ^{7}} = \frac{5}{64} .

京都大学 1992年度後期・文系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1992年度
後期・文系数学後期第5問