京都大学 1992年度後期・文系数学後期第1問解答・解説

問題

$k$ は0または正の整数とする．方程式 $x^{2} - y^{2} = k$ の解 $(a, b)$ で， $a$ ， $b$ がともに奇数であるものを奇数解とよぶ．

(1) 方程式 $x^{2} - y^{2} = k$ が奇数解をもてば， $k$ は8の倍数であることを示せ．

(2) 方程式 $x^{2} - y^{2} = k$ が奇数解をもつための必要十分条件を求めよ．

出典：京都大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第1問

奇数の平方を8で割った余りを使って必要性を示す。十分性では $k = 8 m$ に対して、差が2の2つの奇数を具体的に構成する。 $k = 0$ も別に確認する。

奇数 $u$ は $u = 2 j + 1$ と書けるから

u^{2} = 4 j (j + 1) + 1.

$j (j + 1)$ は偶数なので $u^{2}$ を8で割った余りは1である。従って $a, b$ がともに奇数なら

a^{2} - b^{2} \equiv 0 (mod 8) .

よって $k$ は8の倍数である。

必要性は(1)で示した。逆に $k = 8 m$ とする。 $m = 0$ なら $(a, b) = (1, 1)$ が奇数解である。 $m ≧ 1$ なら

a = 2 m + 1, b = 2 m - 1

はいずれも奇数で、

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) = 2 \cdot 4 m = 8 m = k .

従って必要十分条件は

k が 8 の倍数であること

である。