京都大学 1992年度後期・文理共通数学後期文系第4問・理系第3問解答・解説

問題

放物線 $y = x^{2}$ の上の点 $P (t, t^{2})$ (ただし， $t > 0$ )でこの曲線に接し，かつ $y$ 軸にも接する円を $C_{1}$ ， $C_{2}$ とし，それぞれの半径を $r$ ， $R$ $(r < R)$ とする．

(1) $t$ が正の実数全体を動くとき， $\frac{R}{r}$ のとり得る値の範囲を求めよ．

(2) $\frac{R}{r} = 2$ となる点 $P (t, t^{2})$ を求めよ．

出典：京都大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・文理共通後期文系第4問・理系第3問

円の中心を放物線の法線上に置き、 $y$ 軸への距離が半径である条件を使う。法線方向の係数について二次方程式を解くと2半径が得られ、その比を単調な媒介変数で表す。

$s = 4 t^{2} + 1$ とおく。点 $P$ における放物線の法線方向は $(- 2 t, 1)$ だから、円の中心は

(t - 2 t λ, t^{2} + λ)

と表せる。半径は $∣ λ ∣ s$ であり、 $y$ 軸に接する条件は

∣ t - 2 t λ ∣ = ∣ λ ∣ s .

2乗して整理すると

λ^{2} + 4 t^{2} λ - t^{2} = 0,

従って $λ = - 2 t^{2} \pm t s$ である。2つの半径は

r = t s (s - 2 t), R = t s (s + 2 t) .

\frac{R}{r} = \frac{s + 2 t}{s - 2 t} = (s + 2 t)^{2}

である。 $s + 2 t$ は $t > 0$ で1から無限大まで単調に増えるので

1 < \frac{R}{r} < \infty.

$R / r = 2$ なら $s + 2 t = 2$ である。 $s = 4 t^{2} + 1$ を代入して

t = \frac{2}{8} .

従って

P = (\frac{2}{8}, \frac{1}{32}) .