京都大学 1992年度後期・文理共通数学後期文系第2問・理系第1問解答・解説

問題

0でない $x$ の整式 $f (x)$ に対し， $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ ， $G (x) = \int_{x}^{1} f (t) d t$ とおく．ある定数 $p$ ， $q$ が存在して， $F (G (x)) = - {F (x)}^{2} + pG (x) + q$ が成立しているとする．

(1) $a = \int_{0}^{1} f (t) d t$ とおくとき， $F (x)$ を $a$ を用いて表わせ．

(2) さらに， $0 ≦ x ≦ 1$ での $F (x)$ の最大値が $\frac{1}{2}$ であるとき， $f (x)$ を求めよ．

出典：京都大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・文理共通後期文系第2問・理系第1問

方針

$G (x) = a - F (x)$ を代入し、 $F (x)$ が区間を動くことから $F (a - y)$ と $y$ の多項式恒等式として比較する。 $F$ の二次式を決め、区間 $[0, 1]$ の最大値条件で $a$ を確定する。

解答

$a = F (1)$ とおくと $G (x) = a - F (x)$ である。 $y = F (x)$ はある区間を動くので、与式は

F (a - y) = - y^{2} + p (a - y) + q

という $y$ の恒等式である。従って $F$ は二次式である。 $F (0) = 0$ より

F (x) = u x^{2} + v x

とおく。左辺の $y^{2}$ の係数を比較すると $u = - 1$ である。また $F (1) = a$ より $v = a + 1$ である。

(1)

よって

F (x) = x (a + 1 - x) .

実際、係数比較から $p = 1 - a, q = a^{2}$ も選べるので条件は満たされる。

(2)

$F$ は下に凸ではなく上に開かない二次関数で、頂点は $x = (a + 1) /2$ である。頂点が $[0, 1]$ にある場合の最大値は

\frac{( a + 1 ) ^{2}}{4} .

これが $1/2$ となり、頂点条件 $- 1 ≦ a ≦ 1$ を満たすのは

a = 2 - 1.

$a < - 1$ では区間の最大値は0、 $a > 1$ では最大値 $F (1) = a > 1$ なので他に解はない。従って

f (x) = F^{'} (x) = 2 - 2 x .

京都大学 1992年度後期・文理共通数学 後期 文系第2問・理系第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1992年度
後期・文理共通数学後期文系第2問・理系第1問