問題
の外心から直線，，に下ろした垂線の足をそれぞれ，，とするとき，が成立しているとする．
(1) ，，の関係式を求めよ．
(2) の大きさを求めよ．
出典：京都大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第3問・理系第3問
方針
外心を原点に置き， を同じ長さのベクトルとして扱う。円の中心から弦へ下ろした垂線は弦を二等分するので， はそれぞれ対応する辺の中点である。これで(1)の一次関係が出る。(2)は外接円半径を1としてよく，(1)の式と との内積を取って3つの内積を求め，最後に の余弦を ， から計算する。
解答
(1)
を原点とし，
とおく。
円の中心から弦に下ろした垂線はその弦を二等分する。したがって， はそれぞれ の中点であり
である。これを条件式に代入すると
である。両辺を2倍して整理すれば となる。よって求める関係式は
である。
(2)
角度は拡大縮小で変わらないので，外接円の半径を1としてよい。このとき である。また
とおく。
(1)の式 と との内積をそれぞれ取ると を得る。この連立方程式を解く。第2式から であり，第1式から である。これを第3式に代入すると である。両辺を3倍して すなわち となるから である。したがって である。 は，ベクトル と のなす角である。よって
である。また である。したがって
となる。 より である。