京都大学 1992年度文理共通数学文系第2問・理系第2問解答・解説

問題

$θ$ は $0 < θ < \frac{π}{2}$ の範囲の角とする．

(1) $sin 3 θ = sin 2 θ$ を満たす $θ$ を求めよ．

(2) $m$ ， $n$ を0以上の整数とする． $θ$ についての方程式 $sin 3 θ = m sin 2 θ + n sin θ$ が解を持つときの $(m, n)$ と，そのときの解 $θ$ を求めよ．

出典：京都大学 1992年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第2問・理系第2問

方針

(1)は $sin A - sin B$ の公式を使い，範囲 $0 < θ < \frac{π}{2}$ に残る解だけを拾う。(2)は $sin θ > 0$ で割り， $c = cos θ$ とおくと $4 c^{2} - 1 = 2 m c + n$ になる。 $0 < c < 1$ に正の解を持つかどうかは，2次式の値を $c = 0, 1$ で比べれば判定でき， $2 m + n < 3$ まで候補が絞れる。最後に各候補の $cos θ$ を計算して，範囲内の角を決める。

解答

(1)

$sin 3 θ = sin 2 θ$ より $sin 3 θ - sin 2 θ = 0$ である。和積の公式を用いると $2 cos \frac{5 θ}{2} sin \frac{θ}{2} = 0$ となる。 $0 < θ < \frac{π}{2}$ だから $sin \frac{θ}{2} > 0$ である。したがって $cos \frac{5 θ}{2} = 0$ でなければならない。

このとき $0 < \frac{5 θ}{2} < \frac{5 π}{4}$ であるから，この範囲で余弦が0になるのは $\frac{5 θ}{2} = \frac{π}{2}$ だけである。よって $θ = \frac{π}{5}$ である。

(2)

$0 < θ < \frac{π}{2}$ より $sin θ > 0$ である。 $c = cos θ$ とおくと $0 < c < 1$ であり，

sin 3 θ = sin θ (4 cos^{2} θ - 1), sin 2 θ = 2 sin θ cos θ

だから，与えられた方程式を $sin θ$ で割って $4 c^{2} - 1 = 2 m c + n$ を得る。すなわち $4 c^{2} - 2 m c - (n + 1) = 0$ である。

ここで $f (c) = 4 c^{2} - 2 m c - (n + 1)$ とおく。 $m, n$ は0以上の整数なので $f (0) = - (n + 1) < 0$ である。またこの2次方程式の2つの解の積は $- \frac{n + 1}{4} < 0$ であるから，正の解はただ1つである。したがって $0 < c < 1$ に解を持つためには，その正の解が1より小さければよく，これは $f (1) > 0$ と同値である。よって $4 - 2 m - (n + 1) > 0$ すなわち $2 m + n < 3$ である。 $m, n$ は0以上の整数なので，候補は $(m, n) = (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0)$ に限られる。それぞれについて $4 c^{2} - 2 m c - (n + 1) = 0$ の $0 < c < 1$ の解を求めると

(m, n) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) c = cos θ \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} \frac{1 + 5}{4} θ \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} \frac{π}{5}

である。最後の値は $cos \frac{π}{5} = \frac{1 + 5}{4}$ を用いた。

したがって求める組と解は

(m, n, θ) = (0, 0, \frac{π}{3}), (0, 1, \frac{π}{4}), (0, 2, \frac{π}{6}), (1, 0, \frac{π}{5})

である。

京都大学 1992年度文理共通数学 文系第2問・理系第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1992年度
文理共通数学文系第2問・理系第2問