京都大学 1991年度後期・文理共通数学後期文系・理系第5問解答・解説

問題

1から $n$ までの相異なる $n$ 個の自然数 $(n ≧ 4)$ の中から無作為に2個を取り出し，大きい方を $X_{1}$ ，小さい方を $Y_{1}$ とする．つぎに残りの $(n - 2)$ 個の自然数の中から無作為に2個を取り出し，大きい方を $X_{2}$ ，小さい方を $Y_{2}$ とする．

(1) $X_{1} + Y_{1}$ の期待値を求めよ．

(2) $X_{1}$ の期待値を求めよ．

(3) $Y_{2}$ の期待値を求めよ．

出典：京都大学 1991年度後期日程第2次学力試験後期・文理共通後期文系・理系第5問

方針

(1)は2個の標本和の期待値、(2)は最大値が $k$ となる組数を使う。(3)は第2回に選ばれる無順序対も全ての2要素集合上で一様であるという対称性を使う。

解答

(1)

各数が選ばれる確率は $2/ n$ だから

E (X_{1} + Y_{1}) = \frac{2}{n} (1 + 2 + \dots + n) = n + 1.

(2)

$X_{1} = k$ となる組は、相手を $1, \dots, k - 1$ から選ぶ $k - 1$ 通りである。従って

E (X_{1}) = \frac{\sum _{k = 2}^{n} k ( k - 1 )}{_{n} C _{2}} = \frac{2 ( n + 1 )}{3} .

(3)

最初の2個を除いた後に選ぶ第2の無順序対も、対称性により全ての $_{n} C_{2}$ 個の組の上で一様である。従って $Y_{2}$ の分布は、最初に2個を選んだときの小さい方と同じである。

E (Y_{2}) = E (X_{1} + Y_{1}) - E (X_{1}) = n + 1 - \frac{2 ( n + 1 )}{3} = \frac{n + 1}{3} .

京都大学 1991年度後期・文理共通数学 後期 文系・理系第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

京都大学 1991年度
後期・文理共通数学後期文系・理系第5問