京都大学 1991年度後期・文理共通数学後期文系・理系第4問解答・解説

問題

平面上で次の方程式①を満たす点全体の集合を $C_{1}$ ，②を満たす点全体の集合を $C_{2}$ とする．

① $x^{2} + y^{2} - 1 = 0$

② $10 x^{2} + 14 x y + 5 y^{2} = 1$

(1) $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ は負でない整数で $a d - b c > 0$ を満たしている．さらに $A = (a c b d)$ の定める1次変換 $f$ が $C_{2}$ を $C_{1}$ に写している，すなわち $f (C_{2}) = C_{1}$ である．このとき $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を求めよ．

(2) $C_{2}$ 上の点で $x$ 座標， $y$ 座標とも整数であるものは何個あるか．

出典：京都大学 1991年度後期日程第2次学力試験後期・文理共通後期文系・理系第4問

方針

写像後の長さの2乗が $C_{2}$ の二次形式に一致することから $A^{T} A$ の成分条件を得る。非負整数の平方和を列挙して行列を一意に決める。(2)は行列式1の整数変換が整数格子を全単射にすることを使う。

解答

(1)

$(x, y) \in C_{2}$ の像の長さの2乗は

(a x + b y)^{2} + (c x + d y)^{2} .

これが $10 x^{2} + 14 x y + 5 y^{2}$ に一致するので

a^{2} + c^{2} = 10, b^{2} + d^{2} = 5, ab + c d = 7.

非負整数より

(a, c) = (1, 3), (3, 1), (b, d) = (1, 2), (2, 1) .

内積が7となる候補は $(a, c) = (1, 3), (b, d) = (1, 2)$ と $(a, c) = (3, 1), (b, d) = (2, 1)$ である。前者は $a d - b c = - 1$ 、後者は1だから

(a, b, c, d) = (3, 2, 1, 1) .

(2)

得られた行列は整数成分で行列式1なので、整数格子点を整数格子点へ全単射に移す。従って $C_{2}$ 上の整数点は、単位円 $C_{1}$ 上の整数点

(\pm 1, 0), (0, \pm 1)

と1対1に対応する。求める個数は

4

である。

京都大学 1991年度後期・文理共通数学 後期 文系・理系第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1991年度
後期・文理共通数学後期文系・理系第4問