京都大学 1991年度
文理共通数学 文系第3問・理系第3問

解答

四面体の頂点を $A,B,C,D$ とし，重心を原点 $O$ に取る。各頂点の位置ベクトルを $\overrightarrow{OA}=a,\overrightarrow{OB}=b,\overrightarrow{OC}=c,\overrightarrow{OD}=d$ と書くと，重心が原点であることから $a+b+c+d=0$ である。

辺 $AB$ の中点の位置ベクトルは $(a+b)/2$ である。同様に，六つの辺の中点は

で表される。したがって，これらが原点を中心とする同一球面上にあることを示すには，これらの長さがすべて等しいことを示せばよい。

まず，向かい合う辺 $AD$ と $BC$ が垂直であるから $(a-d)\cdot (b-c)=0$ である。ここで $d=-(a+b+c)$ を用いると $a-d=2a+b+c$ であるから $(2a+b+c)\cdot (b-c)=0$ となる。これを展開すると $2a\cdot b-2a\cdot c+|b{|}^2-|c{|}^2=0$ である。一方，$|a+b{|}^2-|a+c{|}^2=2a\cdot b-2a\cdot c+|b{|}^2-|c{|}^2$ だから $|a+b|=|a+c|$ を得る。

同様に，向かい合う辺 $AC$ と $BD$ が垂直であることから $(a-c)\cdot (b-d)=0$ であり，同じ計算により $|a+b|=|a+d|$ が得られる。したがって $|a+b|=|a+c|=|a+d|$ である。

さらに $a+b+c+d=0$ より $a+b=-(c+d),a+c=-(b+d),a+d=-(b+c)$ である。よって $|a+b|=|c+d|,$ $|a+c|=|b+d|,$ $|a+d|=|b+c|$ も成り立つ。

以上から，六つの中点の原点からの距離はすべて $\frac{1}{2}|a+b|$ に等しい。したがって六つの辺の中点は，重心 $O$ を中心とし半径 $\frac{1}{2}|a+b|$ の一つの球面上にある。