問題
軸上の点 と定点に対し，を直径とする円をとする．点 を，の中点=「と直線の交点」となるようにとる．
(1) ，を求めよ．
(2) が軸上の負の部分のすべてを動くとき，対応する全体はどのような曲線になるか．また直線はこの曲線の，点での，接線となっていることを示せ．
出典：京都大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第1問・理系第1問
方針
円と直線 の交点をまず で表し，その点が の中点であることから を決める。軌跡は媒介変数 を消去して求め，最後に，得られた曲線の接線の傾きと直線 の傾きが一致することを確認する。中点を利用すると座標がすぐ定まるので，接線の確認まで同じ で一貫して処理する。
解答
(1)
円の直径の両端は ， であるから，中心は で，半径は である。したがって円の方程式は となる。
この円と直線 との交点を求める。 を代入すると すなわち であるから を得る。 であり， は右側の点を用いるので，この交点を とおく。
いま は と の中点であるから である。よって となる。
(2)
次に の軌跡を求める。 より であり，これを に代入すると を得る。したがって通常の座標 で書けば である。ただし なので ，また である。したがって実際の軌跡は，放物線 のうち を満たす部分である。
最後に接線であることを示す。直線 の傾きは
である。一方，軌跡 の点 における接線の傾きは したがって を代入して である。これは直線 の傾きと一致する。
また はこの放物線上にあるから， を結ぶ直線は点 における軌跡の接線である。