問題
三角形において，，の対辺の長さは整数，他の2辺の長さ，はいずれも素数である．このとき三角形は正三角形であることを示せ．
出典：京都大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第2問・理系第2問
方針
余弦定理から を得て、 についての2次方程式と見る。 が整数であるため判別式が平方数になることを使い、 まで因数分解する。あとは と が奇素数の場合に分け、素数条件に反する因数分解を除いて、最後に だけが残ることを示す。
解答
角 の両側の辺が 、対辺が であるから、余弦定理より である。これを について整理すると である。 は素数なので整数であり、この2次方程式の判別式 は平方数でなければならない。そこで とおくと である。
まず の場合を考える。このとき右辺は であり、 と は同じ偶奇で正だから、可能な組は だけである。よって 、 となり、 である。したがって である。
次に が奇素数の場合を考える。このとき と はともに奇数で、積は である。大小を考えて とすれば、候補は に限られる。 の場合、 であるから、正の根は となる。 は奇素数なので、右辺は より大きい二つの整数の積になり、 が素数であることに反する。 の場合も同様に である。 なら右辺は より大きい二つの整数の積で、 は素数でない。 のときはこの組は次の と同じである。
したがって残るのは である。このとき となり、2次方程式の根は である。よって が成り立つ。したがって三角形 は正三角形である。