京都大学 1989年度後期・文系数学後期第5問解答・解説

問題

$n$ は3以上の自然数である．赤玉と白玉合わせて $n$ 個ずつ入ったつぼが $\frac{n ( n - 1 )}{2}$ 個あり，その内訳は次のようになっている．
各 $m = 1, 2, \dots, n - 1$ について， $m$ 個の赤玉と $n - m$ 個の白玉の入っているつぼがちょうど $m$ 個ある．
いま，これらのつぼの一つを無作為にとり，さらにそのつぼの中から一つの玉を無作為に取り出すとき，その玉が白玉である確率を求めよ．

出典：京都大学 1989年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第5問

方針

赤玉が $m$ 個のつぼは $m$ 個あり、そのつぼから白玉を引く条件付き確率は $(n - m) / n$ である。全つぼ数で重み付き平均を取り、 $\sum m$ と $\sum m^{2}$ を整理する。

解答

つぼの総数は

1 + 2 + \dots + (n - 1) = \frac{n ( n - 1 )}{2}

である。赤玉が $m$ 個のつぼは $m$ 個あり、そこから白玉を引く確率は $(n - m) / n$ である。したがって求める確率 $P$ は

P = \frac{1}{n ( n - 1 ) /2} m = 1 \sum n - 1 m \frac{n - m}{n} .

ここで

m = 1 \sum n - 1 m (n - m) = n \frac{n ( n - 1 )}{2} - \frac{n ( n - 1 ) ( 2 n - 1 )}{6} = \frac{n ( n - 1 ) ( n + 1 )}{6} .

よって

P = \frac{n + 1}{3 n} .

京都大学 1989年度後期・文系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

京都大学 1989年度
後期・文系数学後期第5問