京都大学 1989年度後期・文系数学後期第1問解答・解説

問題

縦40cm，横25cmの長方形の紙がある．その四隅から，一辺の長さ $x$ cmの正方形を切り取り，残りの紙を折りまげて，直方体の形の，ふたのない容器を作る．このとき，この箱の容積を $V cm^{3}$ とする． $V$ を $x$ の式で表せ．また $V$ が最大となる $x$ の値を求めよ．

出典：京都大学 1989年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第1問

切り取る正方形の一辺が箱の高さになり、底面の縦横はそれぞれ $40 - 2 x, 25 - 2 x$ になる。実際に箱を作れる範囲 $0 < x < 25/2$ を付けて容積を微分し、区間内の停留点と端での挙動を比較する。

V = x (40 - 2 x) (25 - 2 x) = 4 x^{3} - 130 x^{2} + 1000 x, 0 < x < \frac{25}{2} .

微分すると

V^{'} (x) = 12 x^{2} - 260 x + 1000 = 4 (3 x^{2} - 65 x + 250) = 4 (x - 5) (3 x - 50) .

区間 $0 < x < 25/2$ にある停留点は $x = 5$ だけである。 $0 < x < 5$ では $V^{'} (x) > 0$ 、 $5 < x < 25/2$ では $V^{'} (x) < 0$ だから、 $V$ は $x = 5$ で最大になる。

したがって

V = x (40 - 2 x) (25 - 2 x), x = 5 cm

であり、最大容積は $V (5) = 2250 cm^{3}$ である。