問題
円上に2つの定点，がある．上を動く点に対し，から，までの距離の積が最大となるのは，がどのような点のときか．
出典：京都大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
点 は同じ円周上にあるので、三角形 の外接円半径は円 の半径で一定である。面積公式 と、底辺 に対する面積 を比べると、 は から直線 への距離 に比例する。よって直線 から最も遠い円周上の点を答えればよい。
解答
円 の半径を とする。点 は同じ円周上にあるので、三角形 の外接円半径は常に である。
三角形 の面積を 、点 から直線 への距離を とする。底辺を と見れば である。一方、外接円半径を用いる面積公式より である。これらを比べると であり、 なら だから である。
ここで は一定なので、 が最大になるのは、、つまり点 から直線 までの距離が最大になるときである。
円周上で直線 から最も遠い点は、円の中心を通り直線 に垂直な直径の端点のうち、直線 から遠い方の端点である。したがって答えは である。
ただし が直径である場合は、直線 に垂直な直径の両端がどちらも同じ距離をもち、どちらでも最大になる。
別解。座標を、円の中心を原点、直線 を とするように置いてもよい。円周上の点の 座標が から最も離れるとき、直線 からの距離が最大になる。これは上の幾何的結論と同じである。