問題
は実数とする．
(1) 方程式が実数解をもたないようなの範囲を求めよ．
(2) の最小値をとする．が(1)の範囲内にあるとき，の最大値を求めよ．
出典：京都大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
と置き、4次式を の2次関数 として扱う。頂点 が範囲 に入るかどうかで と に分け、実数解をもたない条件を「最小値が正」として求める。(2)ではその最小値 を同じ場合分けで書き、 と のそれぞれで最大を比較する。
解答
(1)
とおくと、 であり、与えられた式は となる。したがって、実数解をもたない条件は、2次関数 が で常に正であることと同値である。
まず の場合を考える。このとき頂点 は 側にあるので、 での最小値は である。したがって実数解をもたない条件は すなわち である。
次に の場合を考える。このとき頂点 は にある。最小値は である。よって条件は であり、これは すなわち である。 と合わせて を得る。
以上より、求める範囲は である。
(2)
(1)の範囲内での最小値 は、上の計算から
である。 では なので、最大値は のとき である。
一方、 では なので最大値は のとき である。したがって全体での最大値は である。
別解。もとの式は偶関数なので、 そのものではなく だけを変数と見ればよい。判別式だけで4次方程式を扱うと、 の制約を見落としやすいので、最小値で処理する方が安全である。