京都大学 1987年度文理共通数学文系第1問・理系第1問解答・解説

問題

$x$ の3次式

$f (x) = a x^{3} + (a^{2} + b) x^{2} + (2 ab + c) x + a^{2} + b^{2} - a$

$g (x) = a x^{3} + (a^{2} - b) x^{2} + (a - 1) x + c^{2} - b^{2}$

および $x$ の2次式

$h (x) = x^{2} + a x + b$

を考える．( $a$ ， $b$ ， $c$ は定数， $a \neq = 0$ )
$f (x)$ ， $g (x)$ はともに $h (x)$ で割り切れるか，または，ともに $h (x)$ では割り切れないかの，いずれかであることを示せ．

出典：京都大学 1987年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第1問・理系第1問

方針

$h (x) = x^{2} + a x + b$ で割った余りだけを比較する。 $x^{2} \equiv - a x - b$ と $x^{3} \equiv (a^{2} - b) x + ab$ を用いると、 $f (x)$ の余りと $g (x)$ の余りはいずれも1次式として計算できる。割り切れる条件は余りの $x$ の係数と定数項がともに0になることなので、その条件が両方で同じになることを示す。

解答

$h (x) = x^{2} + a x + b$ で割った余りを調べる。 $h (x) = 0$ とみなして計算すれば $x^{2} \equiv - a x - b$ である。さらに

x^{3} = x \cdot x^{2} \equiv x (- a x - b) = - a x^{2} - b x \equiv - a (- a x - b) - b x = (a^{2} - b) x + ab

である。

まず $f (x)$ の余りを求める。

f (x) = a x^{3} + (a^{2} + b) x^{2} + (2 ab + c) x + a^{2} + b^{2} - a \equiv a {(a^{2} - b) x + ab} + (a^{2} + b) (- a x - b) + (2 ab + c) x + a^{2} + b^{2} - a .

$x$ の係数は $a (a^{2} - b) - a (a^{2} + b) + 2 ab + c = c$ であり、定数項は $a^{2} b - b (a^{2} + b) + a^{2} + b^{2} - a = a^{2} - a$ である。したがって $f (x)$ の余りは $c x + a^{2} - a$ である。よって $f (x)$ が $h (x)$ で割り切れる条件は $c = 0, a^{2} - a = 0$ である。 $a \neq = 0$ より、これは $a = 1, c = 0$ と同値である。

次に $g (x)$ の余りを求める。

g (x) = a x^{3} + (a^{2} - b) x^{2} + (a - 1) x + c^{2} - b^{2} \equiv a {(a^{2} - b) x + ab} + (a^{2} - b) (- a x - b) + (a - 1) x + c^{2} - b^{2} .

$x$ の係数は $a (a^{2} - b) - a (a^{2} - b) + a - 1 = a - 1$ であり、定数項は $a^{2} b - b (a^{2} - b) + c^{2} - b^{2} = c^{2}$ である。したがって $g (x)$ の余りは $(a - 1) x + c^{2}$ である。よって $g (x)$ が $h (x)$ で割り切れる条件は $a - 1 = 0, c^{2} = 0$ すなわち $a = 1, c = 0$ である。

以上より、 $f (x)$ が $h (x)$ で割り切れる条件と、 $g (x)$ が $h (x)$ で割り切れる条件はどちらも $a = 1, c = 0$ で一致する。したがって、 $f (x), g (x)$ はともに $h (x)$ で割り切れるか、またはともに $h (x)$ では割り切れない。

京都大学 1987年度文理共通数学 文系第1問・理系第1問

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