問題
個のサイコロを同時にふり，出た目の数の最大のものを，最小のものをとするとき，となる確率を求めよ．
出典：京都大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第5問
方針
直接 を数えるより，余事象 を数える。差が の場合は全て同じ目，差が の場合は隣り合う二つの目だけが出て，その両方が少なくとも一度出る場合である。これらは重ならないので通り数を足し，全体 から引く。
解答
余事象 を数える。
まず となるのは， 個のサイコロがすべて同じ目を出す場合である。目は から まであるので，この出方は 通りである。
次に となる場合を数える。このとき出る目は， のいずれか一組に限られ，しかもその二つの目がどちらも少なくとも一度は出なければならない。隣り合う目の組は 通りである。各組について，二つの目だけを使う出方は 通りであり，そのうち一方の目だけしか出ない 通りを除くので 通りである。
したがって となる出方の総数は である。全体の出方は 通りだから，求める確率は である。
別解。 は，すべての出目が長さ の区間 に入る，または一点だけに入るという条件である。区間 は 個あり，それぞれ 通りを与えるが，全て同じ目の場合は隣り合う二つの区間から二重に数えられる。端の目は1回，内側の目は2回数えられることを補正しても，同じく 通りになる。