問題
曲線をとし，上の点を通り，傾きがの直線をとする．となる任意のに対し，とが点以外に共通点をもつような点の範囲を図示せよ．
出典：京都大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
点 の 座標を とし，直線と曲線の交点方程式を作る。 は必ず根なので をくくり，残りの二次式が実根をもつことが「 以外にも共通点をもつ」条件である。判別式は の二次式になり， の任意の で非負である必要がある。下に開く二次式なので，開区間の両端での極限が非負であることに帰着し， 平面の領域を描く。
解答
曲線を とし， とおく。点 を通り傾き の直線 は である。
交点の 座標は を満たす。左辺を でくくると である。 は点 に対応するので， 以外にも共通点をもつためには が実数解をもてばよい。重解でもその解が と異なれば別の共通点である。ただし唯一の重解が となる場合は別の共通点を与えないので注意する。後で得る全条件の下では判別式が開区間内で正となり，この例外は生じない。
この二次方程式の判別式は である。したがって，任意の について条件が成り立つためには であればよい。 は について係数 の下に開く二次式である。したがって区間内での最小は端に近づくところで決まり，開区間全体で非負となるための条件は である。これより を得る。逆にこの二式が成り立てば， は係数 の狭義凹関数なので，開区間 では両端を結ぶ弦より上にあり となる。したがって二次方程式には異なる二実根があり，少なくとも一つは と異なる。
すなわち であるから，二つを合わせて となる。
図示すると， では の上側， では の上側である。境界は で尖ってつながる二つの下に開く放物線で，求める範囲はその上側の領域である。