問題
正六角形の頂点を反時計まわりの順に，とし，次のルール(A)，(B)，(C)に従ってゲームを行う．
(A) を出発点とする．
(B) コインを投げ，表が出たら反時計まわりに隣の頂点に移動し，裏が出たら，時計まわりに隣の頂点に移動する．
(C) の反対側の頂点に到達したらゲームは終了する．
整数 に対して，
=回コインを投げ移動を行ってもゲームの終了しない確率
=ちょうど回目の移動によってゲームの終了する確率
とする．コインを投げたとき，表裏の出る確率はそれぞれずつである．およびを求めよ．
方針
終了は に到達した瞬間で、出発点から までは奇数回でしか届かない。奇数回の移動後にまだ終わっていないなら位置は必ず または である。そこから次の2回で終了する確率が 、終了しない確率が であることを確認し、2回ごとの繰り返しとして を求める。
解答
まず、 から へは辺を3本進む必要があるので、終了する時刻は奇数回目だけである。
1回移動した後は、必ず にいる。したがって である。また1回目で に到達することはないので である。
次に、ある奇数回の移動後にゲームがまだ終了していないとする。このとき位置は または である。実際、奇数回後の位置は添字が奇数の頂点に限られ、 に着いていればその時点で終了しているからである。 にいる場合、次の2回の移動で終了するのは となる場合だけである。これは2回とも反時計まわりに進む場合で、その確率は である。したがって、次の2回後も終了していない確率は である。 にいる場合も同様に、次の2回で終了するのは の場合だけであり、確率は である。よって、どちらの位置にいても、次の2回で終了しない確率は である。
したがって、1回目の後から2回ずつ見ると、未終了の確率は毎回 倍される。ゆえに である。
次に を求める。 ではすでに見たように である。 のとき、ちょうど 回目で終了するには、まず 回目まで終了しておらず、その後の2回で初めて に到達すればよい。前者の確率は 、後者の条件付き確率は である。よって
である。したがって である。