京都大学 1985年度
文系数学 第4問

解答

(i)

$y=g(x)$ は点 $P_i(x_i,f(x_i))$ における接線である。したがって、まず接点を通ることから $f(x_i)=g(x_i)$ である。また、接線の傾きは曲線のその点における微係数に等しいので $f^{\prime }(x_i)=g^{\prime }(x_i)$ である。

ここで $F(x)=f(x)-g(x)$ とおくと、上の2つの等式は $F(x_i)=0,F^{\prime }(x_i)=0$ を意味する。多項式 $F(x)$ について、$F(x_i)=0$ なら $F(x)$ は $(x-x_i)$ で割り切れる。さらに $F^{\prime }(x_i)=0$ であるから、その根は少なくとも二重根である。よって $F(x)=f(x)-g(x)$ は $(x-x_i{)}^2$ で割り切れる。

(ii)

$g(x)$ は1次式であるから、$f(x)-g(x)$ は最高次係数1の4次式であり、三次の係数は $f(x)$ と同じく0である。(i)より $x_1,x_2$ はともに二重根で、しかも $x_1\ne x_2$ だから $f(x)-g(x)=(x-x_1{)}^2(x-x_2{)}^2$ と書ける。

右辺を展開したとき、三次の係数は $-2(x_1+x_2)$ である。これが0であるから $x_1+x_2=0$ すなわち $x_2=-x_1$ である。特に $x_1\ne 0$ である。

したがって $f(x)-g(x)=(x^2-x_1^2{)}^2$ である。この式は常に0以上で、$x=-|x_1|$ と $x=|x_1|$ で0になる。よって囲まれた部分の面積は $S={\int }_{-|x_1|}^{|x_1|}(x^2-x_1^2{)}^{2}dx$ である。被積分関数は偶関数なので $S=2{\int }_0^{|x_1|}(x_1^2-x^2{)}^{2}dx$ と書ける。$a=|x_1|$ とおくと

である。したがって $S=\frac{16}{15}|x_1{|}^5$ である。