京都大学 1983年度
文系数学 第5問

解答

(1)

$f^{\prime \prime }(x)=2(1-x)$ であるから、積分して $f^{\prime }(x)=2x-x^2+C$ である。条件 $f^{\prime }(0)=0$ より $C=0$ である。

さらに積分すると $f(x)=x^2-\frac{x^3}{3}+D$ であり、条件 $f(0)=0$ より $D=0$ である。したがって $f(x)=x^2-\frac{x^3}{3}$ である。

(2)

接点の $x$ 座標を $\alpha >0$ とする。接線の傾きは $f^{\prime }(\alpha )=2\alpha -{\alpha }^2$ である。接線が点 $(-1,0)$ を通る条件は $0=f^{\prime }(\alpha )(-1-\alpha )+f(\alpha )$ すなわち $f(\alpha )=(\alpha +1)f^{\prime }(\alpha )$ である。

これを代入すると ${\alpha }^2-\frac{{\alpha }^3}{3}=(\alpha +1)(2\alpha -{\alpha }^2)$ である。整理して $2\alpha ({\alpha }^2-3)=0$ を得る。接点は $x\geqq 0$ の曲線部分で、傾きが $0$ でない接線を考えるので $\alpha =\sqrt{3}$ である。このとき傾きは $m=f^{\prime }(\sqrt{3})=2\sqrt{3}-3$ である。

接線は $y=m(x+1)$ と書ける。求める面積は、$-1\leqq x\leqq 0$ では接線と $x$ 軸の間、$0\leqq x\leqq \sqrt{3}$ では接線と曲線の間の面積である。したがって

である。これは

に等しい。 $m=2\sqrt{3}-3$ を代入して計算すると $\frac{m(\sqrt{3}+1{)}^2}{2}=\frac{3}{2}$ であり、${\int }_0^{\sqrt{3}}\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)dx=\frac{3}{4}$ である。よって求める面積は $\frac{3}{4}$ である。