京都大学 1983年度
文系数学 第1問

解答

(1)

$n\geqq 3$ とする。ちょうど点 $n$ に到達する直前の位置は、次の2通りだけである。 $n-1\text{ にいて表を出す}$ または $n-2\text{ にいて裏を出す}$ である。表と裏はいずれも確率 $1/2$ なので $p_n=\frac{1}{2}{p}_{n-1}+\frac{1}{2}{p}_{n-2}(n\geqq 3)$ である。

(2)

初期値を求める。 $p_1=\frac{1}{2}$ である。また点 $2$ に到達するには、裏を1回出す場合と、表を2回出す場合があるので $p_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ である。

漸化式 $p_n=\frac{1}{2}{p}_{n-1}+\frac{1}{2}{p}_{n-2}$ の特性方程式は ${\lambda }^2=\frac{1}{2}\lambda +\frac{1}{2}$ すなわち $2{\lambda }^2-\lambda -1=0$ である。よって $\lambda =1,-\frac{1}{2}$ を得る。したがって $p_n=A+B{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n$ と表せる。 $p_1=\frac{1}{2},p_2=\frac{3}{4}$ を代入すると $A=\frac{2}{3},B=\frac{1}{3}$ である。よって $p_n=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n$ である。