問題
校庭に，南北の方向に1本の白線が引いてある．ある人が，白線上の点から西へ5メートルの点に立ち，銅貨を投げて，表が出たときは東へ1メートル進み，裏が出たときは北へ1メートル進む．白線に達するまで，これを続ける．
(1) 点からメートル北の点に到達する確率を求めよ．
(2) を最大にするを求めよ．
出典：京都大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第2問・理系第5問
方針
白線に達するには東向きの移動、つまり表が5回出る必要があり、到達した最後の一投は必ず表である。 点から m 北で到達するには、最後より前に裏が 回、表が4回出ていればよい。最大値は隣接比 を調べ、増加から減少へ変わる場所を決める。
解答
(1)
出発点は白線から西へ5 m の点である。表が出るたびに東へ1 m 進むので、白線に達するには表が合計5回出る必要がある。そして、到達した瞬間の最後の一投は必ず表である。 点から m 北の点に到達するには、最後の表が出る前に、裏が 回、表が4回出ていればよい。最後の一投を除いた 回のうち、表4回の位置を選べばよいので、その並びの数は である。
全体の投数は 回であり、どの並びも確率 をもつ。したがって
である。
(2)
隣り合う項の比を調べる。
ここで だから したがって となる条件は すなわち である。
よって は まで増加し、 なので である。その後は減少する。したがって を最大にする は である。
別解の視点
最後の一投まで含めて全体から表5回、裏 回を選ぶと、最後が表である条件を数え落としやすい。最後の表を固定して、その前の 回だけを数えると、組合せの形が明確になる。