問題
，，で定まる空間の部分をとし，，，で定まる立方体をとする．がの範囲で動くとき，平面による，およびの切り口の面積を，それぞれおよびとする．
(1) を求めよ．
(2) の最大値を求めよ．
出典：京都大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第1問・理系第4問
方針
(1)は第一象限の三軸との交点でできる正三角形として を求める。(2)は立方体の制限が効く位置で場合分けする。 では と同じ、 では大きな三角形から 、、 側の合同な小三角形を3つ除く。 は立方体の中心に関する対称性で を使う。
解答
(1)
平面 は、三つの座標軸と で交わる。この3点でできる三角形が、第一象限部分 の切り口である。
例えば と の距離は であり、他の辺も同じである。したがって切り口は一辺 の正三角形である。
よって (2)
まず では、平面 上の第一象限の切り口はすべて を満たす。したがって 次に を考える。第一象限での大きな三角形から、、、 にはみ出す三つの合同な小三角形を除けばよい。
たとえば の部分は と置くと で表される第一象限の切り口と同じ形である。したがって、その面積は である。同じものが3つあるので である。よって すなわち 最後に、立方体は点 に関して対称である。この対称移動 により、平面 は平面 に移る。したがって である。
よって最大値は中央の区間 で調べればよい。この区間で は のとき最大となる。したがって
中かっこ内は であるから 別解の視点 の切り口は六角形になるが、六角形を直接分割するより、第一象限の大きな正三角形から三つの小正三角形を除く方が短い。 を新たに計算せず、立方体の対称性で戻すのも計算量を抑える要点である。