熊本大学 2025年度文系数学第4問解答・解説

問題

関数 $y = x^{2} - (a + 1) x + a$ のグラフを $C$ とし,直線 $y = x - a$ を $l$ とする。ただし, $a ≦ 1$ とする。以下の問いに答えよ。(問1)　 $C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標を求めよ。(問2)　 $C$ と $l$ で囲まれる図形の面積 $S (a)$ を求めよ。(問3)　(問2)で求めた $S (a)$ の最小値を求めよ。

出典：熊本大学 2025年度前期文系第4問

方針

絶対値の中身を $(x - a) (x - 1)$ と因数分解し、 $a ≦ 1$ のもとで交点を場合分けする。面積は $a < 0$ と $0 ≦ a ≦ 1$ に分けて、曲線と直線の上下を確認して積分する。最後に得られた面積関数の単調性から最小値を決める。

解答

(問1)

絶対値の中身は

x^{2} - (a + 1) x + a = (x - a) (x - 1)

である。共有点では $x - a ≧ 0$ である。

$(x - a) (x - 1) ≧ 0$ のとき

(x - a) (x - 1) = x - a

より

(x - a) (x - 2) = 0

である。したがって $x = a, 2$ を得る。

$(x - a) (x - 1) < 0$ のとき

- (x - a) (x - 1) = x - a

より

(x - a) x = 0

である。このうち新しく得られるのは、 $a < 0$ のときの $x = 0$ である。

よって共有点の $x$ 座標は、 $a < 0$ のとき $a, 0, 2$ 、 $0 ≦ a ≦ 1$ のとき $a, 2$ である。

(問2)

$0 ≦ a ≦ 1$ のとき、直線は曲線の上側にあり

S (a) = \int_{a}^{1} x (x - a) d x + \int_{1}^{2} (x - a) (2 - x) d x

である。したがって

S (a) = 1 - a + \frac{a ^{3}}{6}

である。

$a < 0$ のとき、 $[a, 0]$ では曲線が直線の上側、 $[0, 2]$ では直線が曲線の上側であるから

S (a) = \int_{a}^{0} {- x (x - a)} d x + \int_{0}^{1} x (x - a) d x + \int_{1}^{2} (x - a) (2 - x) d x

である。よって

S (a) = 1 - a - \frac{a ^{3}}{6}

である。

以上より

S (a) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 - a - \frac{a ^{3}}{6} 1 - a + \frac{a ^{3}}{6} (a < 0), (0 ≦ a ≦ 1)

である。

(問3)

$a < 0$ では

S^{'} (a) = - 1 - \frac{a ^{2}}{2} < 0

である。また $0 ≦ a ≦ 1$ では

S^{'} (a) = - 1 + \frac{a ^{2}}{2} < 0

である。したがって $a ≦ 1$ で $S (a)$ は単調に減少し、最小値は $a = 1$ でとる。ゆえに

S (1) = \frac{1}{6}

である。

熊本大学 2025年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2025年度
文系数学第4問