熊本大学 2025年度文系数学第1問解答・解説

問題

$n$ を正の整数とする。放物線 $y = x^{2} + 2 x + 1$ を $C$ とし,直線 $y = (2 n + 3) x$ を $l$ とする。以下の問いに答えよ。(問1)　 $C$ と $l$ の共有点の個数は $2$ 個であることを示せ。(問2)　 $C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標を $α,$ $β$ とする。ただし $α < β$ とする。 $C,$ $x = α,$ $x = β,$ $x$ 軸で囲まれた図形の面積を $S$ とする。 $\frac{S}{β - α}$ を $n$ を用いて表せ。(問3)　(問2)で求めた数を $a_{n}$ とする。 $m ≧ 1$ のとき, $\sum_{n = 1}^{m} a_{n}$ を求めよ。

出典：熊本大学 2025年度前期文系第1問

方針

共有点は二次方程式で扱い、判別式で個数を確認する。面積は $C$ が $x$ 軸の上側にあることから $\int_{α}^{β} (x + 1)^{2} d x$ で表し、平均値 $S / (β - α)$ を根の和と差で整理する。最後は得られた二次式の和を計算する。

解答

(問1)

共有点の $x$ 座標は

x^{2} + 2 x + 1 = (2 n + 3) x

すなわち

x^{2} - (2 n + 1) x + 1 = 0

の解である。この判別式は

D = (2 n + 1)^{2} - 4 = 4 n^{2} + 4 n - 3 = (2 n - 1) (2 n + 3)

である。 $n$ は正の整数であるから $D > 0$ であり、共有点は $2$ 個である。

(問2)

二つの解を $α < β$ とすると

α + β = 2 n + 1, α β = 1

である。また $C : y = (x + 1)^{2}$ は $x$ 軸以上にあるので

S = \int_{α}^{β} (x + 1)^{2} d x

である。 $c = \frac{α + β}{2}$ とおくと、区間 $[α, β]$ での平均値より

\frac{S}{β - α} = (c + 1)^{2} + \frac{( β - α ) ^{2}}{12}

となる。ここで

c = \frac{2 n + 1}{2}, (β - α)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β = 4 n^{2} + 4 n - 3

であるから

\frac{S}{β - α} = \frac{( 2 n + 3 ) ^{2}}{4} + \frac{4 n ^{2} + 4 n - 3}{12} = \frac{2 ( n + 1 ) ( 2 n + 3 )}{3}

である。

(問3)

(問2)より

a_{n} = \frac{2 ( n + 1 ) ( 2 n + 3 )}{3} = \frac{4 n ^{2} + 10 n + 6}{3}

である。したがって

n = 1 \sum m a_{n} = \frac{4}{3} n = 1 \sum m n^{2} + \frac{10}{3} n = 1 \sum m n + 2 m

であるから

n = 1 \sum m a_{n} = \frac{2 m ( m + 1 ) ( 2 m + 1 )}{9} + \frac{5 m ( m + 1 )}{3} + 2 m = \frac{m ( 4 m ^{2} + 21 m + 35 )}{9}

となる。

熊本大学 2025年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2025年度
文系数学第1問