熊本大学 2023年度理系数学第4問（理工系）解答・解説

問題

$t$ は正の実数とする．以下の問いに答えよ．(問1)　関数 $f (x) = 2 t x^{2} e^{- t x^{2}}$ の極値を求めよ．(問2)　定積分 $\int_{1}^{t} 4 t x (1 - t x^{2}) e^{- t x^{2}} lo g x d x$ の値を $t$ を用いて表せ．(問3)　(問2)で求めた値を $g (t)$ とおく． $1 < t < 4$ のとき,不等式 $g (t) > (t^{\frac{5}{2}} - t^{2} + 1) e^{- t^{2}} - e^{- t}$ が成り立つことを示せ．

出典：熊本大学 2023年度前期理系第4問

方針

(問1)は微分して臨界点を調べる。(問2)では被積分関数が $f^{'} (x) lo g x$ であることを見抜き，部分積分を行う。(問3)は得られた式から共通項を消し， $u = t$ とおいて $lo g t > t - 1$ を微分で示す。

解答

(問1)

f^{'} (x) = 4 t x (1 - t x^{2}) e^{- t x^{2}}

である。したがって臨界点は $x = 0, \pm \frac{1}{t}$ である。 $e^{- t x^{2}} > 0$ より符号を調べると， $x = 0$ で極小値 $0$ ， $x = \pm \frac{1}{t}$ で極大値

2 t \cdot \frac{1}{t} e^{- 1} = \frac{2}{e}

をとる。

(問2)

$F (x) = 2 t x^{2} e^{- t x^{2}}$ とおくと

F^{'} (x) = 4 t x (1 - t x^{2}) e^{- t x^{2}}

である。部分積分により

\int_{1}^{t} 4 t x (1 - t x^{2}) e^{- t x^{2}} lo g x d x = [2 t x^{2} e^{- t x^{2}} lo g x]_{1}^{t} - \int_{1}^{t} 2 t x e^{- t x^{2}} d x = t^{2} lo g t e^{- t^{2}} - [- e^{- t x^{2}}]_{1}^{t} = (t^{2} lo g t + 1) e^{- t^{2}} - e^{- t} .

したがって

g (t) = (t^{2} lo g t + 1) e^{- t^{2}} - e^{- t}

である。

(問3)

示すべき不等式は

t^{2} lo g t + 1 > t^{\frac{5}{2}} - t^{2} + 1

と同値である。 $u = t$ とおくと $1 < u < 2$ であり，

ϕ (u) = 2 lo g u - u + 1

とおけば

ϕ^{'} (u) = \frac{2}{u} - 1 > 0 (1 < u < 2)

である。また $ϕ (1) = 0$ であるから， $1 < u < 2$ で $ϕ (u) > 0$ である。すなわち

lo g t = 2 lo g u > u - 1 = t - 1

である。両辺に正の $t^{2}$ を掛けると

t^{2} lo g t > t^{\frac{5}{2}} - t^{2}

となる。よって

g (t) > (t^{\frac{5}{2}} - t^{2} + 1) e^{- t^{2}} - e^{- t}

が成り立つ。

熊本大学 2023年度理系数学 第4問（理工系）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2023年度
理系数学第4問（理工系）