熊本大学 2023年度理系数学第3問（医学部医学科）解答・解説

問題

$x y$ 平面上に点 $P$ $(cos θ, sin θ)$ をとり, $θ$ が $- \frac{π}{2} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ の範囲を動くとする．点 $A$ は $y$ 軸上の点で, $y$ 座標が負であり, $A P = 2$ を満たす．点 $Q$ は $A Q = 4 A P$ を満たす点とする．以下の問いに答えよ．(問1)　点 $Q$ の座標を $θ$ を用いて表せ．(問2)　点 $Q$ の $x$ 座標の最大値と最小値および $y$ 座標の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．(問3)　点 $Q$ の軌跡と $y$ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

出典：熊本大学 2023年度前期理系第3問

方針

点 $A = (0, a)$ とおき，距離条件から負の解 $a$ を選ぶ。 $Q = A + 4 (P - A)$ で座標を得た後， $x$ 座標と $y$ 座標をそれぞれ一変数で調べる。面積は媒介変数表示された曲線と $y$ 軸で囲まれる領域として， $\int x d y$ を計算する。

解答

(問1)

$A = (0, a)$ とおく。 $a < 0$ であり， $A P = 2$ より

cos^{2} θ + (sin θ - a)^{2} = 4

である。したがって

a^{2} - 2 a sin θ - 3 = 0

となる。 $a < 0$ であるから

a = sin θ - sin^{2} θ + 3

である。 $A Q = 4 A P$ より $Q = 4 P - 3 A$ であるから，点 $Q$ の座標は

(4 cos θ, sin θ + 3 sin^{2} θ + 3)

である。

(問2)

$- \frac{π}{2} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ では $0 ≦ cos θ ≦ 1$ であるから， $x$ 座標の最小値は $0$ ，最大値は $4$ である。

$s = sin θ$ とおくと $- 1 ≦ s ≦ 1$ であり， $y$ 座標は

Y = s + 3 s^{2} + 3

である。微分すると

Y^{'} = 1 + \frac{3 s}{s ^{2} + 3}

である。 $Y^{'} = 0$ となるのは $s = - \frac{6}{4}$ のときであり，このとき

Y = 26

である。また $Y (- 1) = 5, Y (1) = 7$ であるから， $y$ 座標の最小値は $26$ ，最大値は $7$ である。

(問3)

$Q = (x (θ), y (θ))$ とおくと

x (θ) = 4 cos θ, \frac{d y}{d θ} = cos θ (1 + \frac{3 sin θ}{sin ^{2} θ + 3})

である。曲線は $(0, 5)$ から $(0, 7)$ までを右側にふくらんで結ぶので， $y$ 軸で囲まれる面積 $S$ は

S = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} x (θ) \frac{d y}{d θ} d θ = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 cos^{2} θ (1 + \frac{3 sin θ}{sin ^{2} θ + 3}) d θ .

第2項の被積分関数は奇関数であるから積分は $0$ である。よって

S = 4 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} cos^{2} θ d θ = 2 π

である。

熊本大学 2023年度理系数学 第3問（医学部医学科）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2023年度
理系数学第3問（医学部医学科）