熊本大学 2022年度理系数学第4問（医学部医学科）解答・解説

問題

以下の問いに答えよ．(問1)　 $m ≦ n$ であって, $mn + 2 =_{m + n} C_{m}$ を満たす正の整数の組 $(m, n)$ を $1$ つ求めよ．(問2)　 $m ≦ n$ であって, $mn + 2 =_{m + n} C_{m}$ を満たす正の整数の組 $(m, n)$ は,(問1)で求めた組に限ることを示せ．

出典：熊本大学 2022年度前期理系第4問

方針

まず小さい $m$ を調べ， $m = 2$ から解 $(2, 2)$ を得る。 $m ≧ 3$ では $_{m + n} C_{m}$ を下から $_{n + 3} C_{3}$ で評価し， $mn + 2 ≦ n^{2} + 2$ より大きいことを示して解がないことを証明する。

解答

(問1)

$m = 2, n = 2$ とすると

mn + 2 = 6,_{m + n} C_{m} =_{4} C_{2} = 6

である。したがって求める組の一つは

(m, n) = (2, 2)

である。

(問2)

まず $m = 1$ のとき，方程式は

n + 2 =_{n + 1} C_{1} = n + 1

となり，成り立たない。

次に $m = 2$ のとき，

2 n + 2 =_{n + 2} C_{2} = \frac{( n + 2 ) ( n + 1 )}{2}

である。整理すると

n^{2} - n - 2 = 0

であり，正の整数解は $n = 2$ である。

最後に $m ≧ 3$ とする。 $m ≦ n$ であるから， $_{m + n} C_{r}$ は $r = 0, 1, \dots, m$ の範囲で少なくとも $r = 3$ までは増加し，

_{m + n} C_{m} ≧_{m + n} C_{3} ≧_{n + 3} C_{3}

である。よって

_{m + n} C_{m} ≧ \frac{( n + 3 ) ( n + 2 ) ( n + 1 )}{6}

である。一方， $m ≦ n$ より

mn + 2 ≦ n^{2} + 2

である。 $n ≧ 3$ では

\frac{( n + 3 ) ( n + 2 ) ( n + 1 )}{6} > n^{2} + 2

であるから， $_{m + n} C_{m} > mn + 2$ となる。したがって $m ≧ 3$ では解はない。

以上より，条件を満たす正の整数の組は

(m, n) = (2, 2)

に限られる。

熊本大学 2022年度理系数学 第4問（医学部医学科）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

熊本大学 2022年度
理系数学第4問（医学部医学科）